PID Controller 的 discrete form

PID Controller 在各系的自動控制課一定都會講到，我大學時是在大三的時候上到這門課，大致而言學校的自控課程都會先從 laplace transform 開始教，然後教一些分析系統穩定度的方法，然後會以一些基本的控制模型來講解，PID 就是其中一個。

然而不曉得是因為課程安排的關係還是老師太混，我們並沒有教到這套基本控制理論的離散版本，如 Discrete PID Controller，z-Transform 等等，當時老師又出了程式作業，要求我們要使用樂高機器人來實作倒單擺控制，這對當時的我造成了相當大的疑惑，雖然老師有教程式該怎麼寫，但沒解釋太多，直到最近我才重新理解了一遍 PID Controller 的 discret form，並瞭解到連續系統必須要進行離散化才能在電腦上實做。

PID詳細的理論講解我還在理解整理中，可能之後才會補上，這篇就直接從連續的PID公式講起。

PID的input為量測值和目標值的誤差 $e(t)$，分別對誤差進行比例、積分、微分後以一定的比例 ($K_p、K_i、K_d$) 組合:

$$u(t) = K_p e(t) + K_i \int_0^t e(\tau) d\tau + K_d \frac{de(t)}{dt}$$

其中積分和微分是連續的操作，必須進行離散化，假設系統的取樣時間是 $\Delta t$，則積分的離散形式為：

$$\int_0^{t_n} e(\tau) d\tau = \sum_{i=1}^n e[i] \Delta t = \Delta t \sum_{i=1}^n e[i]$$

微分 (又稱爲有限差分) 為：

$$\frac{de(t_n)}{dt} = \frac{e[n]-e[n-1]}{\Delta t}$$

帶回原式：

$$u[n] = K_p e[n] + K_i \Delta t \sum_{i=1}^n e[i] + K_d \frac{e[n]-e[n-1]}{\Delta t}$$

這時已經可以實作了，需要兩個變數來儲存歷史資料，一個是積分項的 $\sum_{i=1}^n e[i]$，一個是微分項的 $e[n-1]$，再加上 $e[n]$ 一共三個變數，另外有四個常數，除了本來的三個K值以外還有取樣時間$\Delta t$（有些地方會寫成$T_s$）。

總而言之，我對於我們自動控制沒學離散系統感到很困惑，只有學連續系統可能可以分析一些連續的環境，但如果要用電腦來實做，沒有離散的概念是完全不行的，我直到上蘇老師的訊號與系統才開始有這概念。但自控貌似一直都不是本系強項就是了…

以上，如果我有空再補上 Arduino 的範例或 pseudo code，嗯，有空的話 (?